Una función es una relación con la característica de que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solamente un elemento del segundo conjunto. Formalmente, para poder establecer una función es necesario que:
1) Exista un conjunto X llamado dominio de la función.
2) Exista un conjunto Y llamado codominio de la función.
3) Exista una regla de correspondencia entre los dos conjuntos, de tal forma que a los elementos del dominio les haga corresponder uno y solo uno de los elementos del codominio.
Un ejemplo es la correspondencia entre los conjuntos X y Y :
Esta representa una función ya que cada elemento del dominio tiene asociado uno y sólo un elemento del
codominio.
Una función f definida del conjunto X al conjunto Y se denota como f : X -> Y : X corresponde al dominio de la función, Y pertenece al codominio de la función y f es la característica de la función (regla de correspondencia). La característica indica que se debe hacer con cada elemento del conjunto X para obtener los elementos correspondientes en el conjunto Y.
Es posible describir los elementos de una función si se utiliza un diagrama, también es posible especificar las parejas ordenadas formadas cuando el número resultante de ellos, después de haber aplicado la función, es pequeño. Sin embargo, no siempre se trabaja con funciones donde el número de parejas ordenadas resultantes es finito. En estos casos, para describir una función es necesario establecer claramente cual es la regla de correspondencia y sobre que elementos se puede aplicar.
Para indicar los elementos del dominio se escoge una letra que representa a todos los elementos de este conjunto. Esta letra recibe el nombre de variable, ya que puede tomar como valor cualquier elemento del conjunto. Usualmente se escoge la letra x .
El valor que toma la variable x no depende de ninguna condición. Esta variable puede tomar como valor cualquier elemento del dominio, por eso se le llama variable independiente.
Los elementos del segundo conjunto también pueden ser representados si utilizamos una variable (usualmente la letra y ). No obstante, esta segunda variable depende del valor que se le ha asignado a la variable independiente, y es por eso que recibe el nombre de variable dependiente. Considerando lo anterior, si y es una función de x , lo cual se expresa simbólicamente como: y = f (x).
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
El dominio de una función no se especifica, sino que sólo se da una regla o ecuación que define la función. El dominio de una función f de variable real es el conjunto de números reales para el cual la regla tiene sentido o, más específicamente, para el cual el valor f (x) es un número real.
IMAGEN Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
El elemento que se obtiene en el segundo conjunto después de aplicar la regla de correspondencia a un elemento del primer conjunto, recibe el nombre de imagen. Si x es el elemento en el dominio la imagen se denota como f (x).
Rango o recorrido es el conjunto formado por todas las imágenes correspondientes al dominio.
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Las funciones pueden clasificarse de la siguiente forma:
1.- Inyectivas
2.- Funciones Suprayectivas
3.- Biyectivas
Una función inyectiva es aquella que al tomar dos valores diferentes en el dominio sus imágenes van a ser diferentes.
Una función suprayectiva es cuando el rango es igual al codominio. Eso significa que todos los elementos del codominio están relacionados con alguno del dominio.
Una función es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva simultáneamente.
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